جواب کاردرکلاس صفحه 60 ریاضی دوازدهم

حل تمرین کار در کلاس صفحه 60 ریاضی دوازدهم برای محاسبه حد توابع گویا در بی‌نهایت، کافی است نسبت ضرایب جملات با **بزرگترین توان** را در صورت و مخرج در نظر بگیریم. ### الف) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 2}{x - 1}$ در صورت و مخرج، بزرگترین توان $x$ است (درجه صورت = درجه مخرج). $$\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x} = \mathbf{3}$$ *** ### ب) $\lim_{t \to -\infty} \frac{1 - 5t^2}{t^2 + 3t}$ در صورت و مخرج، بزرگترین توان $t^2$ است (درجه صورت = درجه مخرج). $$\lim_{t \to -\infty} \frac{1 - 5t^2}{t^2 + 3t} = \lim_{t \to -\infty} \frac{-5t^2}{t^2} = \mathbf{-5}$$ *** ### پ) $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2 - 3x}$ در صورت، بزرگترین توان $x^0$ و در مخرج $x$ است (درجه صورت < درجه مخرج). در این حالت، حد به صفر میل می‌کند. $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2 - 3x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{-3x}$$ وقتی $x \to +\infty$，مخرج به سمت $-\infty$ میل می‌کند. $$\frac{1}{-\infty} = \mathbf{0}$$

حل تمرین 2 صفحه 60 ریاضی دوازدهم حد توابع گویا در بی‌نهایت زمانی برابر با یک عدد ثابت غیر صفر است که درجه صورت و مخرج برابر باشند. حد برابر نسبت ضرایب جملات با بزرگترین توان است. ### الف) تابعی که $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -1$ باشد. باید درجه صورت و مخرج برابر باشند و نسبت ضرایب بزرگترین توان‌ها برابر $-1$ شود. $$\mathbf{\text{مثال پیشنهادی: } f(x) = \frac{-x}{x + 1} \quad \text{یا} \quad f(x) = \frac{-2x^2 + 5}{2x^2 + x}}$$ **بررسی:** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{-x}{x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x}{x} = -1$$ *** ### ب) تابعی که $\lim_{x \to -\infty} g(x) = 100$ باشد. باید درجه صورت و مخرج برابر باشند و نسبت ضرایب بزرگترین توان‌ها برابر $100$ شود. $$\mathbf{\text{مثال پیشنهادی: } g(x) = \frac{100x - 7}{x + 10} \quad \text{یا} \quad g(x) = \frac{100x^3 - 1}{x^3 + 2x}}$$ **بررسی:** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{100x^3 - 1}{x^3 + 2x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{100x^3}{x^3} = 100$$ **نکته:** چون حد در بی‌نهایت (چه $+\infty$ و چه $-\infty$) فقط به نسبت ضرایب بزرگترین توان‌ها وابسته است، ضابطه هر تابع گویایی که درجه صورت و مخرجش برابر باشد و نسبت ضرایب بزرگترین توان‌ها برابر $-1$ (در حالت الف) یا $100$ (در حالت ب) باشد، به عنوان جواب صحیح تلقی می‌شود.